きのこわず

ポケモンクイズとかその他もろもろ。

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続:数学をやる。

今年の理系阪大の数学は
挑戦枠が云々…と前回書きましたが、今度は普通の方も
少しかじってみます。

問3(大意)より
「nを自然数とする。
n+1,n^3+3,n^5+5,n^7+7は
すべて素数とならないことを示せ。」

えーっとmod系でしょうか?
片っぱしからやるとmod3なら出来そうですね。

n≡0(mod3)の時、
n+1≡1(mod3),n^3+3≡0(mod3),n^5+5≡2(mod3),n^7+7≡1(mod3)
となり、n≧3からn^3+3≧30となりn^3+3が3でない3の倍数となるので不適。
n≡1(mod3)の時、
n+1≡2(mod3),n^3+3≡1(mod3),n^5+5≡0(mod3),n^7+7≡2(mod3)
となり、n≧1からn^5+5≧6となりn^5+5が3でない3の倍数となるので不適。
n≡2(mod3)の時、
n+1≡0(mod3),n^3+3≡2(mod3),n^5+5≡1(mod3),n^7+7≡0(mod3)
となり、n≧2からn^7+7≧135となりn^7+7が3でない3の倍数となるので不適。

…とこんなものでしょうかね。
阪大で合同式を使ってもいいのかは知りませんが。

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2013年阪大・理学部・数学科(挑戦枠)をといてみた(?)。

追記:この問題は実際に受けた人からの話で再現したものです。
問題文の大意のみである上に、問2の√3の範囲の桁数が異なる可能性がありますので、
確実なソースとは言えませんのでご注意ください。

これは去年のものです。
今年の分は受けている方の情報がないため、
載せる予定はございませんのでご了承ください。




阪大の理学部に今年から挑戦枠が出ていまして、
阿鼻叫喚だったらしいのでどんなものか解いてみた。

…ってどこの予備校も解答速報でてないじゃん!

で、問題も不明…となっていましたが、
受験者から聞けたのでやってみます。

大問は2つ(?)。
1つは(1)に微積分の問題を出し、
(2)はそれを踏まえて3.141<π<3.142を示せとかいう問題。
その(1)が分からないので解けません…。
面白そうなので分かればやってみたいんですが…。
個人的に東大の「円周率が3.05より大きいことを証明せよ。」が
あざ笑えそうなクラスに見えます。
今回のは誘導ありで、東大は誘導なしなのでそうではありませんが。(※1)


もう1つは論証問題。大意ですが、
「すべての有理数は、整数か循環小数か有限小数であることを示せ。」
というもの。

解く前にいろいろ考えてみると
整数は4なら4.000000000…と0が続き、
有限小数も2.3なら2.300000000000…と0が続き、
循環小数は1/3なら0.333333333333…と3が続きます。
ここから言えることは整数、有限小数は循環小数のうちに入ります。
全部に共通していえるのはどこかでループし続けているということですね。



スマートな解法を調べてみると
鳩の巣原理(※2)を用いるものがありましたので
拙いですが、それを引用した解法を。

整数、有限小数は循環小数に入るので
すべての有理数は循環小数であることを示せばよい。
ある有理数が非循環小数となると仮定すると、
その有理数は互いに素である整数p,qを用いて、
q/pと表せる。
qをpで割る時、その商が整数部となり、
余りを10倍してpで割った時の商が小数点第1位となる。
以下同様にして小数点第2位以下も定められる。
ここで登場する余りは0,1,2,…,q-1が考えられ、
仮定から同じ余りが出てしまうとそれ以下が同じものとなり
循環小数となるため、すべての余りが異ならないといけない。
しかし、pで割る操作は無限回に行われるので
鳩の巣原理から同じ余りが出てしまうため矛盾。
よってすべての有理数は循環小数となり題意は示された。

…といったものなんでしょうか?
「仮定から~異ならないといけない。」が
少しとっかかりますが…。



※1
個人的に、日本三大の大学入試数学の有名問ですね。
残りは東大の加法定理の証明(有名なのかな?)と
「tan1°は有理数か。」(京大)
加法定理は微妙ですが、抽象的で何をやったらいいのか
分かりにくくいですね。
そこでどうするべきか考えさせられるべきなのに
この解法だけが独り歩きしていて少し気になるこの頃です。

※2 鳩の巣原理(ディリクレの引き出し論法)は
例えば、4つの巣に5羽の鳩がいたら、
かならず1つの巣に2羽以上鳩がいる巣がいるというもの。
一般的に言うと、
n個のグループにn+1(個)以上のものが属していたら、
少なくとも1個は2つ以上属しているものがある。


追記:
数学挑戦
例の円周率の問題。
しかし、wordで普通に解答を作るのが
ほぼ私の技術的に困難なので答えは作れません。
概略だけ書いておきますと、
(1)は、はさみうちの原理を用いて、
(2)は分子を分母で割ると普通に積分できるので、
(1)で用いた不等式を用いてもとめられます。

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2013前期試験の数学だけ感想。

個人的な大体の難易度を5段階でつけています。
適当なのでご了承あれ。

1:ベクトル(難易度1/5)
普通のベクトル問でしたね…。
3点の同一直線からベクトルだして数倍したら辺に終点が来る…
何も恐れることのない問題だった気がします。
強いて言うなら一次独立ぐらい?
私は19:3になりました。

2:数列(難易度4/5)
今年の難問枠。
N≧3なら、数列が
奇数→偶数→奇数→奇数→奇数→…
ってなって最後に0になり続けることを見つけたら…
っていう感じらしいです。

私は
まずN=2の時の成立を示し、
N≧3の時は
2^N-3=2^(N-1)+2^(N-2)+…+2^3+2^2+1…①
にして処理して、
偶数みたいにずっと項が1/2倍になるだけだったら
1の所が1+1/2+1/4+…<2となるはずなのに
1+0+0+0+…=1となってしまうから、↑の時と比べて1だけ小さくなる
で①の項がN-1個あるから1/2倍だけの時と比べてN-1以上減ってしまう。
で1/2倍だけの時の総和は2^(N+1)-6未満になるから
さっきのN-1を引いて右辺完成。
としました。

3:多項式(難易度3.5/5)
噂では東大理系数学2002とほぼ一緒らしいです。
実際、漸化式ネタになる誘導を隠して値を変えただけです。
余りの漸化式を作ったら数学的帰納法!
整数はそれだけでOKですね。
互いに素(厳密にはn≧3の時のみ)の方は
a,bが共に2以上にならないn=1とn=2だけ分けて、
n=kを仮定してn=k+1の時は
a(k+1)とb(k+1)(=a(k))が素数pでわり切れると仮定すると
n=kの仮定からa(k)はpで割り切れても、b(k)はpで割り切れない。
a(k+1)=2a(k)+b(k)もpで割り切れない事になり矛盾を示す感じでいいでしょうか…?

4:関数(微分系)(難易度2.5/5)
ちょっと小数点の計算が出て算数か科学みたいに思いました。
ごくわずかの部分なので、れっきとした数学の問題ですが。
偶関数なので0≦x≦π/2だけ考えます。
関数を微分するとx=0で極大、範囲の間のどこかで極小になるから
x=0の時とx=π/2の時のどちらが大きいかな?
証明せず用いてよいの値を用いてね。
…というもの。
x=0の時極大か極小かわからないので、
疑心暗鬼になって上に凸を示し、途中で変曲点をはさんで下に凸になるから
極小も1つだけあるよーとか示しておきました。
しなくてもよかったのかな?
ちなみに私の答えは(√3)π^2/16(x=π/2の値。大体1.068ぐらいらしいですby電卓)

5:積分(面積)(難易度2/5)
いわゆる積分で計算ミスしないか系。
解説に疲れたのでカット。
点Aのx座標は2になり、最終的に
8√3-2√3log3-8π/3となりましたが計算問なので一番不安。

6:確率(難易度(1)1.5/5、(2)2.5/5)
発想さえつけば簡単ですね。
2回単位でみると
表表、裏裏は座標が変わらず、
表裏は座標が2増え、裏表は座標が2減るとさえ分かれば
(1)は1/2とすぐわかりますし、
(2)も2n回を2個単位のn個のセットとみて
n個中、表裏がn-1個、表表or裏裏が1個だけと分かりますので
C使って行って、最終的にn/2^(2n-1)となりました。

全体的に見て去年よりかは簡単ですね。
え?まさかの6完?と見えますが、
2でテンパり、指が震えすぎて、論理だて出来ていないし、
不等号と等号を間違えていたところもあり、
5分でやっつけ解答ぎみだったのでほぼ部分点は見込めなさそう。
なので5完「ぐらい」。

国語は玉勝間と漢字が出て驚いた。


ちなみに、ここからは余談ですが、
駐車場のトラックとかを動かして駐車場から指定された車を
出すゲームの名称は「駐車場パズル」が一般的だそうです。
「TOKYO PARKING」とか「RUSH HOUR」とも言うんだとか。

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ひさびさに…

おわたしすてむ河合塾の第1回のマーク模試、記述模試の報告していたのに
最近の記事が、HHA晒しとかだったので
センターの報告も。
自己採点の結果は…
数学ⅠA……100/100
数学ⅡB……100/100
国語…………123/200
英語…………166/200
リスニング…042/050
化学Ⅰ………093/100
物理Ⅰ………095/100
地理B………078/100
合計…………755.4/900
個人的に理系の大豊作でした。
そして小説の点数が16点とスピンスピンスピンして
チョッ!弱ったなぁ…。

まだリサーチも返ってきていないので以上。

追記:例のオワタシステムでは
ややDよりのC。
曖昧な記憶ながら第3回記述模試とあわせると
かろうじてBH?(国語を現古で受けたためH付き)
という感じでした。

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続:生存していない報告

今回は後編。
マーク模試でだめだったことよりも、
今後の課題を中心に。

ちなみに前編で出た課題の要約。

数学:スピード勝負でしょ。
英語:スピード勝負でしょ。
国語(現代):しっかり何かの土台が必要
国語(古典):少し読めたかもの希望をつかんでいく。
国語(漢文):まず基礎から。本当に0からやっていく。
物理:どんな力が働いているか理解する。
化学:電池はまずやろう。
地理:日々精進あるのみ。

2週目の見直し。

数学
これは得意だから…
とはいっても成績がサインカーブ。
y=25sinx+130っていう感じで今回はx=240°ぐらいで…。
今回は調子が悪い時に記述模試にぶつかりまして、
最後の最後で…っていうミスがちらほらとあるんですよね。
なのでいろいろな経験を踏まえて言えるのが、
急ぐ、落ち着く、最後に確認する。
この両立が難しいんですよね…。

英語
どうなんだろう…
OKそうに見えて全然なのが英語。
文法は固まりつつありますが、
単語と語法。特に熟語が微妙ですね。
そして、読解スピードのなさ。これでは伸びませんね。
まず単語・熟語を完璧に。それとともに英文に慣れる。

国語
まず、無対策・無知。
現代文は読解対策の参考書なりつかって行かないとだめですね。(塾・予備校に駆け込むのも手ですが。)
そこでの基礎を夏までに。
記述できない。主語述語がねじれ国会る。
例えば、「大きな変化があった」という部分の説明では
何「から」何「に」なったのかを示すといった
どう明確に示すかというのも大切ですからね。

古典は以前買った某読解基礎の本を読んでいきます。
評判はいいとも言われていませんが、買ったものは読まないと。
でも、書店で他にいいのがあるかも探してみたいです。

漢文は…まず句法・単語。どこかで書いてありましたが、
英語よりも覚えることは少ないので逃げれるかな…?
主語の把握とかいろいろ大変そうですが。

夏までに基礎完成。まずは書店に。

物理
波動は今のところ難を感じていないのでこの勢いで。
問題は力学。張力に抗力、摩擦力等正確に力を把握する能力がいまいちと
思えてくるこの頃です。
少しだめかも…と思いかけたこのチャンスを生かして上手に伸ばしていきたいですね。
まずは重要問題集で、その単元を確認しようかな?
力の正確な把握を。

化学
本当にできているのか微妙。
mol濃度や質量濃度の変換はできるようになってきましたが、
電池以外にも過マンガン酸カリウム・ヨウ素の滴定や、そこから派生するCOD。
特に、有機化学のフタル酸とかの安息香系。
あの辺りが全然できていなく、たぶんそこを問題にされるとほぼ0点かも…。
できていそうで、あまりできていないなぁ…と実感。
一通り見直して、できていないところをすべて埋める。

地理
これは本当に精進あるのみの科目ですね。
学校で購入した某参考書と授業の内容をふまえつつ、確認していく必要もあると思いますが、
授業で聞いたアタカマ砂漠ってどこだっけ?[1](←リンクはないけど一番下にあるよ。)
とかいろいろなっているので、地形と
特に南米の気候区分といったオリジナルの地図作りをするのがいいかも。

最終的に…
6月までの課題としては、
現代文の基礎を何かしらの本で知る。
(これは7月の課題になりそうだけど、
古典・漢文の本も探しておくこと。)
化学の芽つぶし。
物理の力学つぶし。
英語の単語つぶし(2/3程)

となりそうですね。

考えながら打つだけで、前編含め1時間かかるという
超長文になりましたが終了させていただきます。

[1]チリ北部にある砂漠。多分授業ではなく、テレビ番組のチリ特集の影響と思われ。
そして想像していたのはペルーの首都リマが砂漠に属していることとつながって
リマがアタカマ砂漠にあると勘違いしていただけである。

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