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タマムシ大学入試問題(大問2)

タマムシ大学携帯獣学部の今年(2014年)の携帯獣学の入試問題を入手しました!
作成者のやる気不足で大問2しかありませんが、
近年、ポケモン学会でも注目されている(?)、
カロス地方で発見されたポケモンのタマゴの遺伝にまつわる問題となっています。
しかし、この問題はいつになく単純知識以上に
計算と論理力が試されている問題となっています。
暇な方は挑戦してみてください。
答えは作成者のやる気不足で載せません。




大問2.次の文章を読み、[   ]に当てはまる数値、語句を解答欄に書きなさい。
また問1~3に答えなさい。ただし[ ウ ]、[ ケ ]は小数点第3位を四捨五入して
小数点第2位まで示し、[ オ ]~[ ク ]は分母と分子が最も簡単な整数になる分数で答えなさい。

ポケモンは同じ性格、レベル、種類であっても個体によって能力の数値が変化することがある。
その微妙な差はジャッジによって判別することができる。
HP、攻撃、防御、特攻、特防、素早さの6種類の能力のうち、
ジャッジによって「最高の力を持っている」とジャッジされた能力を○、
されなかった能力を×として表すことにする。
例えば、攻撃と素早さが最高の力を持っているとジャッジされたポケモンなら(×,○,×,×,×,○)と表記できる。
『ポケットモンスターXY』において、育て屋にポケモンを預けるとタマゴができ、
生まれたポケモンはいくつかの預けたポケモンの強さの微妙な差を受け継ぐことが知られる。
そのメカニズムは以下の法則に従っていることが分かっている。
法則1. HP、攻撃、防御、特攻、特防、素早さの内何種類かがランダムで選ばれ、どの能力も等確率で選ばれる。
法則2.選ばれた種類の能力は預けたポケモンのどちらかと全く同じ能力を引き継ぐ。
各能力でどちらの親が引き継がれるか決定され、この選択は何かによって影響することなく、どちらも等確率である。
法則3.選ばれなかった能力は預けたポケモンの能力や選ばれた能力と関係なくランダムで決まる。
この時、偶然親と全く同じ能力を引き継ぐこともある。

問1 (○,○,○,○,×,×)であるオスのポケモンと(○,○,○,○,○,×)であるメスのポケモンを預けて
見つかったタマゴから生まれた100匹のポケモンの能力の○の数は表1のようになった。
ここから法則1は何種類の能力が選択されると考えられるか。理由とともに解答せよ。

表1 タマゴから孵ったポケモンの○の個数とその個体数
○の数個体数
0個 0匹
1個0匹
2個 6匹
3個 51匹
4個 40匹
5個 3匹
6個 0匹

また『ポケットモンスターXY』では預けるポケモンのいずれかに[ ア ]を持たせることで法則1で選ばれる能力が5つになるようになった。
以下は預けるポケモンのいずれかに[ ア ]を持たせているものとする。
続いて法則3について考えていきたい。
2匹とも(○,○,○,○,○,×)である個体のポケモンを預けた。
法則3を無視し、法則1で選ばれなかった能力は必ず預けたポケモンと異なる能力になると仮定する。
素早さ以外の能力における○の個数で区別した個体数の比は簡単な整数の比で表すと4個:5個=[ イ ]:1と考えられる。
しかし、6493個のタマゴから生まれたポケモンで見てみると4個:5個=5245:1248となったことから、
[ ウ] 匹に1匹の確率で親の能力と偶然一致して○になっている。
つまり、小数点以下を四捨五入して整数で表すと32匹に1匹の確率で偶然一致するということになる。
また預けるポケモンが2匹とも(×,×,×,×,×,×)の時、生まれた6493匹のポケモン内、
すべて×のポケモンは6292匹に対し、○を1つだけ持つポケモンは201匹であったことから法則3で選ばれなかった能力が○のなる確率も32匹に1匹の確率といえる。
以下、法則3で選ばれなかった能力が偶然○になる確率を1/32とする。

問2 6つの能力の内、預けた2匹のポケモンの能力が両方○であるものがa個、
一方が○でもう一方が×であるものがb個あったとする。
生まれるポケモンの○の個数の期待値をa, bを用いて表せ。導出の過程も示すこと。

 6つとも○のポケモンが生まれるためには相当の時間がかかる。
野生のポケモンの各能力においても、偶然○となる確率が1/32であるとすると、
あるポケモンが6つとも○である確率は2の[ エ ]乗分の1である。
そのためまず6つとも○であるポケモンと偶然出会うことはまずないといえる。
しかし、タマゴを利用すると比較的楽にはなるといえる。
預けた2匹のポケモンが(○,○,○,○,○,×)、 (○,○,○,○,○,×)である時、
もらったタマゴから6つとも○であるポケモンが生まれる確率は[ オ ]であり、
2匹が(○,○,○,○,○,×)、 (○,○,○,○,○,×)である時は[ カ ]で、
(○,○,○,○,○,×)、 (○,○,○,○,×,×)である時は[ キ ]である。
またオスのポケモンが(○,○,○,○,○,×)でメスのポケモンが (○,○,○,○,×,×)の時、
生まれたポケモンがメスで能力が(○,○,○,○,○,×)または(×,○,○,○,○,○)である確率は、
オスとメスの比が1:1であるとすると[ ク ]である。
以上からオスが(○,○,○,○,○,×)、メスが (○,○,○,○,×,×)の時、
(○,○,○,○,○,○)であるポケモンが生まれるまでタマゴを孵化させ続け、
もし途中で5つの能力が○であるメスのポケモンが生まれたら預けているメスのポケモンを
その生まれたポケモンに変えてそれ以降は預けるポケモンを変えることなく孵化させ続けたとき、
孵化させるタマゴの個数の期待値はオスとメスの比が1:1の時、[ ケ ]である。
(○,○,○,○,○,×)や (○,○,○,○,×,×)であるポケモンは比較的容易に生まれるようになったため、
大変ではあるもののかつてとは楽にはなったといえる。

問3 オスとメスの比が1:1であるポケモンにおいて、(○,○,○,○,○,×)のオスのポケモンと
(○,○,○,○,×,×)のメスのポケモンを預けて(○,○,○,○,○,○)が生まれるまで以下のルールを踏まえてポケモンを孵化させ続けた。
ルール1 素早さを含み5つの能力が○のオスのポケモンが生まれたら、
預けているオスのポケモンをその生まれたポケモンにして孵化させ続ける。
以降はどのようなオスのポケモンが生まれても預けているメスのポケモンを入れ替えない。
ルール2 5つの能力が○のメスのポケモンが生まれたら、預けているメスのポケモンを
その生まれたポケモンにして孵化させ続ける。
以降はどのようなメスのポケモンが生まれても預けているメスのポケモンを入れ替えない。
この時、ルール1とルール2の両方を適用した場合と、
ルール2のみを適用した場合のどちらが早く(○,○,○,○,○,○)のポケモンを生み出せるか。
期待値をふまえて答えなさい。

はい、これは以前乗せた携帯獣学のセンター試験の続編的なシリーズを
1回だけ記事にフラグ的に載せ、途中で力尽きたので
途中まで載せたシリーズです。
本当は単純知識メインな大問1、3を作りたかったんですが…。

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