きのこわず

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2013前期試験の数学だけ感想。

個人的な大体の難易度を5段階でつけています。
適当なのでご了承あれ。

1:ベクトル(難易度1/5)
普通のベクトル問でしたね…。
3点の同一直線からベクトルだして数倍したら辺に終点が来る…
何も恐れることのない問題だった気がします。
強いて言うなら一次独立ぐらい?
私は19:3になりました。

2:数列(難易度4/5)
今年の難問枠。
N≧3なら、数列が
奇数→偶数→奇数→奇数→奇数→…
ってなって最後に0になり続けることを見つけたら…
っていう感じらしいです。

私は
まずN=2の時の成立を示し、
N≧3の時は
2^N-3=2^(N-1)+2^(N-2)+…+2^3+2^2+1…①
にして処理して、
偶数みたいにずっと項が1/2倍になるだけだったら
1の所が1+1/2+1/4+…<2となるはずなのに
1+0+0+0+…=1となってしまうから、↑の時と比べて1だけ小さくなる
で①の項がN-1個あるから1/2倍だけの時と比べてN-1以上減ってしまう。
で1/2倍だけの時の総和は2^(N+1)-6未満になるから
さっきのN-1を引いて右辺完成。
としました。

3:多項式(難易度3.5/5)
噂では東大理系数学2002とほぼ一緒らしいです。
実際、漸化式ネタになる誘導を隠して値を変えただけです。
余りの漸化式を作ったら数学的帰納法!
整数はそれだけでOKですね。
互いに素(厳密にはn≧3の時のみ)の方は
a,bが共に2以上にならないn=1とn=2だけ分けて、
n=kを仮定してn=k+1の時は
a(k+1)とb(k+1)(=a(k))が素数pでわり切れると仮定すると
n=kの仮定からa(k)はpで割り切れても、b(k)はpで割り切れない。
a(k+1)=2a(k)+b(k)もpで割り切れない事になり矛盾を示す感じでいいでしょうか…?

4:関数(微分系)(難易度2.5/5)
ちょっと小数点の計算が出て算数か科学みたいに思いました。
ごくわずかの部分なので、れっきとした数学の問題ですが。
偶関数なので0≦x≦π/2だけ考えます。
関数を微分するとx=0で極大、範囲の間のどこかで極小になるから
x=0の時とx=π/2の時のどちらが大きいかな?
証明せず用いてよいの値を用いてね。
…というもの。
x=0の時極大か極小かわからないので、
疑心暗鬼になって上に凸を示し、途中で変曲点をはさんで下に凸になるから
極小も1つだけあるよーとか示しておきました。
しなくてもよかったのかな?
ちなみに私の答えは(√3)π^2/16(x=π/2の値。大体1.068ぐらいらしいですby電卓)

5:積分(面積)(難易度2/5)
いわゆる積分で計算ミスしないか系。
解説に疲れたのでカット。
点Aのx座標は2になり、最終的に
8√3-2√3log3-8π/3となりましたが計算問なので一番不安。

6:確率(難易度(1)1.5/5、(2)2.5/5)
発想さえつけば簡単ですね。
2回単位でみると
表表、裏裏は座標が変わらず、
表裏は座標が2増え、裏表は座標が2減るとさえ分かれば
(1)は1/2とすぐわかりますし、
(2)も2n回を2個単位のn個のセットとみて
n個中、表裏がn-1個、表表or裏裏が1個だけと分かりますので
C使って行って、最終的にn/2^(2n-1)となりました。

全体的に見て去年よりかは簡単ですね。
え?まさかの6完?と見えますが、
2でテンパり、指が震えすぎて、論理だて出来ていないし、
不等号と等号を間違えていたところもあり、
5分でやっつけ解答ぎみだったのでほぼ部分点は見込めなさそう。
なので5完「ぐらい」。

国語は玉勝間と漢字が出て驚いた。


ちなみに、ここからは余談ですが、
駐車場のトラックとかを動かして駐車場から指定された車を
出すゲームの名称は「駐車場パズル」が一般的だそうです。
「TOKYO PARKING」とか「RUSH HOUR」とも言うんだとか。
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