きのこわず

ポケモンクイズとかその他もろもろ。

スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。

PageTop

2013年阪大・理学部・数学科(挑戦枠)をといてみた(?)。

追記:この問題は実際に受けた人からの話で再現したものです。
問題文の大意のみである上に、問2の√3の範囲の桁数が異なる可能性がありますので、
確実なソースとは言えませんのでご注意ください。

これは去年のものです。
今年の分は受けている方の情報がないため、
載せる予定はございませんのでご了承ください。




阪大の理学部に今年から挑戦枠が出ていまして、
阿鼻叫喚だったらしいのでどんなものか解いてみた。

…ってどこの予備校も解答速報でてないじゃん!

で、問題も不明…となっていましたが、
受験者から聞けたのでやってみます。

大問は2つ(?)。
1つは(1)に微積分の問題を出し、
(2)はそれを踏まえて3.141<π<3.142を示せとかいう問題。
その(1)が分からないので解けません…。
面白そうなので分かればやってみたいんですが…。
個人的に東大の「円周率が3.05より大きいことを証明せよ。」が
あざ笑えそうなクラスに見えます。
今回のは誘導ありで、東大は誘導なしなのでそうではありませんが。(※1)


もう1つは論証問題。大意ですが、
「すべての有理数は、整数か循環小数か有限小数であることを示せ。」
というもの。

解く前にいろいろ考えてみると
整数は4なら4.000000000…と0が続き、
有限小数も2.3なら2.300000000000…と0が続き、
循環小数は1/3なら0.333333333333…と3が続きます。
ここから言えることは整数、有限小数は循環小数のうちに入ります。
全部に共通していえるのはどこかでループし続けているということですね。



スマートな解法を調べてみると
鳩の巣原理(※2)を用いるものがありましたので
拙いですが、それを引用した解法を。

整数、有限小数は循環小数に入るので
すべての有理数は循環小数であることを示せばよい。
ある有理数が非循環小数となると仮定すると、
その有理数は互いに素である整数p,qを用いて、
q/pと表せる。
qをpで割る時、その商が整数部となり、
余りを10倍してpで割った時の商が小数点第1位となる。
以下同様にして小数点第2位以下も定められる。
ここで登場する余りは0,1,2,…,q-1が考えられ、
仮定から同じ余りが出てしまうとそれ以下が同じものとなり
循環小数となるため、すべての余りが異ならないといけない。
しかし、pで割る操作は無限回に行われるので
鳩の巣原理から同じ余りが出てしまうため矛盾。
よってすべての有理数は循環小数となり題意は示された。

…といったものなんでしょうか?
「仮定から~異ならないといけない。」が
少しとっかかりますが…。



※1
個人的に、日本三大の大学入試数学の有名問ですね。
残りは東大の加法定理の証明(有名なのかな?)と
「tan1°は有理数か。」(京大)
加法定理は微妙ですが、抽象的で何をやったらいいのか
分かりにくくいですね。
そこでどうするべきか考えさせられるべきなのに
この解法だけが独り歩きしていて少し気になるこの頃です。

※2 鳩の巣原理(ディリクレの引き出し論法)は
例えば、4つの巣に5羽の鳩がいたら、
かならず1つの巣に2羽以上鳩がいる巣がいるというもの。
一般的に言うと、
n個のグループにn+1(個)以上のものが属していたら、
少なくとも1個は2つ以上属しているものがある。


追記:
数学挑戦
例の円周率の問題。
しかし、wordで普通に解答を作るのが
ほぼ私の技術的に困難なので答えは作れません。
概略だけ書いておきますと、
(1)は、はさみうちの原理を用いて、
(2)は分子を分母で割ると普通に積分できるので、
(1)で用いた不等式を用いてもとめられます。
スポンサーサイト

PageTop

コメント


管理者にだけ表示を許可する
 

上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。