きのこわず

ポケモンクイズとかその他もろもろ。

続:数学をやる。

今年の理系阪大の数学は
挑戦枠が云々…と前回書きましたが、今度は普通の方も
少しかじってみます。

問3(大意)より
「nを自然数とする。
n+1,n^3+3,n^5+5,n^7+7は
すべて素数とならないことを示せ。」

えーっとmod系でしょうか?
片っぱしからやるとmod3なら出来そうですね。

n≡0(mod3)の時、
n+1≡1(mod3),n^3+3≡0(mod3),n^5+5≡2(mod3),n^7+7≡1(mod3)
となり、n≧3からn^3+3≧30となりn^3+3が3でない3の倍数となるので不適。
n≡1(mod3)の時、
n+1≡2(mod3),n^3+3≡1(mod3),n^5+5≡0(mod3),n^7+7≡2(mod3)
となり、n≧1からn^5+5≧6となりn^5+5が3でない3の倍数となるので不適。
n≡2(mod3)の時、
n+1≡0(mod3),n^3+3≡2(mod3),n^5+5≡1(mod3),n^7+7≡0(mod3)
となり、n≧2からn^7+7≧135となりn^7+7が3でない3の倍数となるので不適。

…とこんなものでしょうかね。
阪大で合同式を使ってもいいのかは知りませんが。
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